基础算法——二分法

二分法

1. 基本思想

二分的本质并不是单调性——有单调性一定可以二分，可以二分的不一定有单调性。

二分的本质（整数二分）是在一个区别上有某个性质，一边满足一边不满足，那就可以通过二分将这个性质区分出来，即将这个边界点区分出来

2. 实现方法

• 算法模板：

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

3. 注意事项

1. 浮点数二分可以不考虑边界，因为其有严格的mid。

2. 整数二分需要考虑边界，例如：当判断结果为true，l = mid时，mid = (l+r+1) >> 1；当判断结果为true，r = mid时，mid = (l+r) >> 1。

3. 二分法必有解，循环后结束条件为l=r，若题目无解，则是对解出来的值l进行相关的位置判断；位置正确，则题目有解；位置错误，则题目无解。但是二分法必有解l=r；参考题目：789. 数的范围 - AcWing题库。

4. 二分法模板1bsearch_1找到的是==左边界，模板2bsearch_2找到的是右边界==，参考题目：789. 数的范围 - AcWing题库。